Способ 1.

Вынесем из под квадратных корней все множители в квадратах. Для этого разложим сначала \(\displaystyle 512\) на множители:

\(\displaystyle 512=2^9{\small .}\)

Выделим каждый множитель в наибольшей четной степени:

\(\displaystyle 512=2^9=2^{\color{blue}{8}+1}=2^{\color{blue}{8}}\cdot 2^1=\color{blue}{2^8} \cdot 2{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \sqrt{512}=\sqrt{\color{blue}{2^8}\cdot 2}=\sqrt{\color{blue}{2^8}}\cdot \sqrt{2}=\color{blue}{2^4}\cdot\sqrt{2}{\small .}\)

Теперь разложим на множители \(\displaystyle 8{\small : }\)

\(\displaystyle 8=2^3{\small .}\)

Выделим каждый множитель в наибольшей четной степени:

\(\displaystyle 8=2^3=2^{\color{green}{2}+1}=2^{\color{green}{2}}\cdot 2^1=\color{green}{2^2} \cdot 2{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{\color{green}{2^2}\cdot 2}=\sqrt{\color{green}{2^2}}\cdot \sqrt{2}=\color{green}{2}\sqrt{2}{\small .}\)

Подставим в числитель и знаменатель дроби преобразованные иррациональные выражения:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=\frac{2^4\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}{\small .}\)

Данную дробь можно сократить на \(\displaystyle 2\sqrt{2}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=8{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .} \)

Способ 2.

Используя свойство квадратного корня для дроби, перепишем наше выражение:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}= \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}{\small . } \)

Сократим дробь под корнем:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 256}{ 2\cdot 4 }}= \sqrt{\frac{ 256}{ 4 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 128}{ 2\cdot 2}}= \sqrt{64} {\small . }\)

Поскольку \(\displaystyle 64 \) является полным квадратом, то, извлекая из него квадратный корень, получаем:

\(\displaystyle \sqrt{64}=8{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .} \)