Выберите число, равное корню \(\displaystyle \sqrt{4^5}{\small .}\)
Для того чтобы извлечь квадратный корень в выражении \(\displaystyle \sqrt{4^5}{\small ,}\) нам желательно преобразовать выражение под корнем к квадрату некоторого числа.
Будем использовать для этого правило:
Степень в степени
Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle {\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.\)
Сначала перепишем подкоренное выражение, записав \(\displaystyle 4 \) в виде степени \(\displaystyle 2{\small : } \)
\(\displaystyle \sqrt{4^5}=\sqrt{\left(2^2\right)^5}{\small .}\)
Теперь воспользуемся правилом "степень в степени", раскрыв скобки под корнем:
\(\displaystyle \sqrt{\left(2^2\right)^5}=\sqrt{2^{2\cdot 5}}=\sqrt{2^{10}}{\small . } \)
Снова используем наше правило, чтобы преобразовать получившееся выражение к квадрату некоторого числа:
\(\displaystyle \sqrt{2^{10}}=\sqrt{2^{5\cdot 2}}=\sqrt{\left(2^5\right)^2}{\small .}\)
Поскольку под корнем у нас получился полный квадрат, то мы можем извлечь из него корень:
\(\displaystyle \sqrt{\left(2^5\right)^2}=2^5{\small .}\)
Окончательно, возводя \(\displaystyle 2\) в пятую степень, получаем:
\(\displaystyle 2^5=32{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 32{\small . } \)
Используем следующее свойство степеней.
Для любого положительного числа \(\displaystyle a\) и лююых чисел \(\displaystyle \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что
\(\displaystyle (a^{\,\color{blue}{x}})^{\color{green}{y}}=a^{\, \color{blue}{x} \cdot \color{green}{y} }=a^{\, \color{green}{y}\cdot \color{blue}{x}}=(a^{\, \color{green}{y}})^{\color{blue}{x}}{\small .}\)
В нашем случаем получаем:
\(\displaystyle \sqrt{4^5}=(4^{\color{blue}{5}})^{\color{green}{1/2}}=(4^{\color{green}{1/2}})^{\color{blue}{5}}=(\sqrt{4})^{\color{blue}{5}}=2^5=32{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \sqrt{4^5}=32{\small .}\)