Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Замена переменной, область определения

Задание

Найдите корни квадратного уравнения

\(\displaystyle -x^2+\sqrt{x+4}=\sqrt{x+4}+10x+21{\small . }\)

(Если корней меньше двух, оставьте последнюю ячейку пустой.)

\(\displaystyle x_1=\)
-3
\(\displaystyle x_2=\)
Решение

Дано иррациональное уравнение. Значит, сначала необходимо найти его область допустимых значений.

Корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, тогда 

\(\displaystyle x+4\geqslant0{\small,}\)

\(\displaystyle x\geqslant-4{\small.}\)


Перейдем к решению уравнения.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

\(\displaystyle -x^2+\sqrt{x+4}-\sqrt{x+4}-10x-21=0{\small . }\)

Слагаемые с корнями сокращаются:

\(\displaystyle -x^2+\cancel{\sqrt{x+4}}-\cancel{\sqrt{x+4}}-10x-21=0{\small, }\)

\(\displaystyle -x^2-10x-21=0{\small. }\)


Решим полученное квадратное уравнение.

Воспользуемся правилом:

Правило

Корни квадратного уравнения

\(\displaystyle \color{blue}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{red}{ c}=0\)

\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-\color{green}{ b}+\sqrt{\rm D}}{2\color{blue}{ a}}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-\color{green}{ b}-\sqrt{\rm D}}{2\color{blue}{ a}}\)

Запишем уравнение, выделив его коэффициенты:

\(\displaystyle -x^2-10x-21=\color{blue}{ -1}\cdot x^2\color{green}{ -10}x\color{red}{ -21}{\small . }\)

Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ -1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -21}{\small .} \)

Поэтому

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -10})^2-4\cdot (\color{blue}{ -1})\cdot (\color{red}{ -21})=100-84=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 16}=4{\small .} \)

Значит, корни уравнения равны

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10+4}{ -2 }=-7{\small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10-4}{ -2 }=-3{\small .}\)


Проверим, попадают ли корни в область допустимых значений исходного уравнения.

  • Число \(\displaystyle -7\) меньше \(\displaystyle -4{\small,}\) значит, корень \(\displaystyle x_1=-7\) не лежит в области допустимых значений уравнения.
  • Число \(\displaystyle -3\) не меньше \(\displaystyle -4{\small,}\) значит, корень \(\displaystyle x_2=-3\) лежит в области допустимых значений уравнения.


Ответ: \(\displaystyle -3{\small .} \)