Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-3=0{\small.}\)
(Если корней меньше двух, оставьте последнюю ячейку пустой).
Сначала запишем область допустимых значений уравнения.
Делить на \(\displaystyle 0\) нельзя, значит, \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0{\small.}\)
Перейдем к решению уравнения.
Попробуем, с помощью замены, свести уравнение к квадратному.
Заметим, что дробь \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\) – это квадрат \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}=\left(\frac{1}{x}\right)^2\)
Тогда если сделать замену переменной \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{\frac{1}{x}}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}=\left(\color{blue}{\frac{1}{x}}\right)^2=\color{green}{t^2}{\small.}\)
Сделаем замену в уравнении:
\(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}+\color{blue}{\frac{2}{x}}-3=0{\small,}\)
\(\displaystyle \color{green}{t^2}+\color{blue}{2t}-3=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle t_1=-3{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=1{\small.}\)
Теперь, зная какие значения принимает \(\displaystyle t{\small,}\) и зависимость \(\displaystyle x\) от \(\displaystyle t{\small,}\) найдем \(\displaystyle x{\small.}\)
Так как \(\displaystyle {t}=\frac{1}{x}\) и \(\displaystyle t=-3\) или \(\displaystyle t=1{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle -3=\frac{1}{x}\) или \(\displaystyle 1=\frac{1}{x}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\) или \(\displaystyle x=1{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}\) и \(\displaystyle x_2=1{\small.}\)