Дано иррациональное уравнение. Значит, сначала необходимо найти его область допустимых значений.

Корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, тогда 

\(\displaystyle x+4\geqslant0{\small,}\)

\(\displaystyle x\geqslant-4{\small.}\)

Перейдем к решению уравнения.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

\(\displaystyle -x^2+\sqrt{x+4}-\sqrt{x+4}-10x-21=0{\small . }\)

Слагаемые с корнями сокращаются:

\(\displaystyle -x^2+\cancel{\sqrt{x+4}}-\cancel{\sqrt{x+4}}-10x-21=0{\small, }\)

\(\displaystyle -x^2-10x-21=0{\small. }\)

Решим полученное квадратное уравнение.

Воспользуемся правилом:

Запишем уравнение, выделив его коэффициенты:

\(\displaystyle -x^2-10x-21=\color{blue}{ -1}\cdot x^2\color{green}{ -10}x\color{red}{ -21}{\small . }\)

Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ -1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -21}{\small .} \)

Поэтому

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -10})^2-4\cdot (\color{blue}{ -1})\cdot (\color{red}{ -21})=100-84=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 16}=4{\small .} \)

Значит, корни уравнения равны

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10+4}{ -2 }=-7{\small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10-4}{ -2 }=-3{\small .}\)

Проверим, попадают ли корни в область допустимых значений исходного уравнения.

• Число \(\displaystyle -7\) меньше \(\displaystyle -4{\small,}\) значит, корень \(\displaystyle x_1=-7\) не лежит в области допустимых значений уравнения.
• Число \(\displaystyle -3\) не меньше \(\displaystyle -4{\small,}\) значит, корень \(\displaystyle x_2=-3\) лежит в области допустимых значений уравнения.

Ответ: \(\displaystyle -3{\small .} \)