Теңдеуді шешіңіз (егер түбірлер екі немесе одан да көп болса, жауабында олардың ең кішісін жазыңыз):
\(\displaystyle \log_{3}x+\log_{x}\frac{1}{27}-2=0{\small .}\)
\(\displaystyle \log_{3}\color{magenta}{x}+\log_{\color{red}{x}}\frac{1}{27}-2=0{\small .}\)
Жарамды мәндер ауқымы (ЖМА):
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{magenta}{x} &> 0{\small ,}\\\color{red}{x} &> 0{\small ,}\\\color{red}{x}\,&\cancel{=}\, 1{\small ;}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> 0{\small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\)
Келесі
\(\displaystyle \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle \log_{3}x+\log_{x}{3^{-3}}-2=0{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_{3}x-3\log_{x}{3}-2=0{\small .}\)
Қасиеті бойынша
\(\displaystyle \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}{\small ,}\) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1,b \, \cancel= \,1 ){\small.}\)
\(\displaystyle \log_{x}{3}=\frac{1}{\log_{3}{x}}{\small .}\)
Сондықтан
\(\displaystyle \log_{3}x-3\log_{x}{3}-2=0\) теңдеуі
келесідей болады:
\(\displaystyle \log_{3}x-3\cdot \frac{1}{\log_{3}{x}}-2=0{\small .}\)
Алмастырайық. \(\displaystyle t=\log_{3}x\) болсын.
Рационал теңдеу аламыз
\(\displaystyle t-3\cdot \frac{1}{t}-2=0{\small .}\)
Ортақ бөлгішке келтірейік
\(\displaystyle \frac{t^2-3-2t}{t}=0{\small .}\)
Бұл рационал теңдеу келесі жүйеге тең:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t^2-3-2t&=0{\small ,}\\t\,&\cancel{=}\, 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Алынған квадрат теңдеуді шешейік
\(\displaystyle t^2-3-2t= 0{\small ,}\)
\(\displaystyle t^2-2t-3= 0{\small .}\)
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle {\rm D}= (-2)^2-4\cdot(-3)=16{\small ,}\)
\(\displaystyle t_1=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2}=3{\small ,}\)
\(\displaystyle t_2=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2}=-1{\small .}\)
\(\displaystyle 3\cancel{=}\, 0 \) және \(\displaystyle -1\cancel{=}\, 0{ \small ,} \) болғандықтан, онда \(\displaystyle t\) үшін екі мәнді де қарастырайық:
1 - жағдай.
\(\displaystyle t=3{\small ,}\) яғни
\(\displaystyle \log_{3}x=3{\small ,}\)
\(\displaystyle x=3^3{\small ,}\)
\(\displaystyle x=27{\small .}\)
\(\displaystyle 27>0,\, 27\,\cancel{=}\,1{\small .}\) Сәйкесінше, \(\displaystyle x=27\) ЖМА қанағаттандырады.
2 - жағдай.
\(\displaystyle t=-1{\small ,}\) яғни
\(\displaystyle \log_{3}x=-1{\small ,}\)
\(\displaystyle x=3^{-1}{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{3}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}>0,\, \frac{1}{3}\,\cancel{=}\,1{\small .}\) Сәйкесінше, \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) ЖМА қанағаттандырады.
\(\displaystyle 27>\frac{1}{3}\) болғандықтан, онда \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) – ең кіші шешім.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small .} \)