Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):
\(\displaystyle \log_{4}\sqrt{6x+7}\cdot \log_{x}4=1{\small .}\)
\(\displaystyle \log_{4}\sqrt{6x+7}\cdot \log_{x}4=1{\small .}\)
Область допустимых значений (ОДЗ):
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\sqrt{6x+7} &> 0{ \small ,}\\6x+7 &\geq 0{ \small ;}\\x &> 0{ \small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{ \small ;}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}6x+7 &> 0{ \small ,}\\x &> 0{ \small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{ \small ;}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> -\frac{7}{6}{ \small ,}\\x &> 0{ \small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{ \small ;}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> 0{ \small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{ \small .}\end{aligned}\right.\)
По свойству
\(\displaystyle \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}{\small ,}\) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1,b \, \cancel= \,1 )\)
\(\displaystyle \log_{x}{4}=\frac{1}{\log_{4}{x}}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_{4}\sqrt{6x+7}\cdot \log_{x}4=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log_{4}\sqrt{6x+7}\cdot \frac{1}{ \log_{4}x}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{\log_{4}\sqrt{6x+7}} { \log_{4}x}=1{\small .}\)
По свойству
\(\displaystyle \frac{\log_{c}a} { \log_{c}b}=\log_{b}a\) \(\displaystyle (a>0,b>0,c>0,c \, \cancel= \,1,b \, \cancel= \,1 )\)
получаем
\(\displaystyle \frac{\log_{4}\sqrt{6x+7}} { \log_{4}x}=\log_{x}\sqrt{6x+7}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log_{x}\sqrt{6x+7}=1{\small .}\)
По определению логарифма
\(\displaystyle \log_{a}b=c\) равносильно \(\displaystyle b=a^c{\small .}\)
В нашем случае
\(\displaystyle \log_{x}\sqrt{6x+7}=1 \) равносильно \(\displaystyle \sqrt{6x+7}=x^1{\small .}\)
Решим уравнение \(\displaystyle \sqrt{6x+7}=x{\small .}\)
Иррациональное уравнение вида \(\displaystyle \color{magenta}{\sqrt{f(x)}=g(x)}\) равносильно системе \(\displaystyle \color{magenta}{\left\{\begin{aligned}f(x)=&(g(x))^2{ \small ,}\\g(x)\geq&0{ \small .}\\\end{aligned}\right.}\)
Поэтому \(\displaystyle \sqrt{6x+7}=x\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}6x+7 &=x^2{ \small ,}\\x &\geq 0{ \small ;}\\\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-6x-7 &=0{ \small ,}\\x &\geq 0{\small .}\\\end{aligned}\right.\)
Решим полученное квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2-6x-7= 0{\small .}\)
\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot(-7)=36+28=64{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2}=\frac{6+8}{2}=7{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2}=\frac{6-8}{2}=-1{\small ;}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &=7{ \small ,}\\x &\geq 0\\\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &=-1{ \small ,}\\x &\geq 0{\small .}\\\end{aligned}\right.\)
Следовательно, \(\displaystyle x=7{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 7>0\) и \(\displaystyle 7\,\cancel{=}\,1\), то \(\displaystyle x=7\) удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(\displaystyle 7{\small .} \)