Область допустимых значений (ОДЗ):

\(\displaystyle 5x+2>0{\small ,}\) то есть \(\displaystyle x>-\frac{2}{5}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 343=7^3,\) то

\(\displaystyle \log_{343}(5x+2)=\log_{7^\color{red}{3}}(5x+2)=\color{red}{\frac{1}{3}}\log_7(5x+2)=\log_7(5x+2)^\color{red}{\frac{1}{3}}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 7^{\log_{343}(5x+2)}=7^{\log_7(5x+2)^\frac{1}{3}}=(5x+2)^\frac{1}{3}{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 7^{\log_{343}(5x+2)}=4{\small ,}\)

\(\displaystyle (5x+2)^\frac{1}{3}=4{\small ,}\)

\(\displaystyle \sqrt[3]{5x+2}=4{\small .}\)

Возведем обе части в третью степень:

\(\displaystyle \color{magenta}{(}\sqrt[3]{5x+2}\color{magenta}{)^3}=4\color{magenta}{^3}{\small ,}\)

\(\displaystyle 5x+2=4\color{magenta}{^3}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 5x+2=4^3,\) то \(\displaystyle 5x+2>0\) и, следовательно, решение уравнения будет
удовлетворять ОДЗ.

Решим данное уравнение:

\(\displaystyle 5x+2=64{\small ,}\)

\(\displaystyle 5x=64-2{\small ,}\)

\(\displaystyle 5x=62{\small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{62}{5}{\small ,}\)

\(\displaystyle x=12{,}4{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x=12{,}4{\small .} \)