Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):
\(\displaystyle \log_{x-6}64=2{\small .}\)
Область допустимых значений (ОДЗ):
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-6 &> 0{\small ,}\\x-6\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\) \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> 6{\small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle \color{green}{x-6}>0\) и \(\displaystyle \color{magenta}{\log_{x-6}64=2},\) то
\(\displaystyle \color{green}{(x-6)^{\color{magenta}{\log_{x-6}64}}= (x-6)^{\color{magenta}{2}}}{\small .}\)
По основному логарифмическому тождеству
\(\displaystyle a^{\log_{a}b}=b\) \(\displaystyle (a>0,\, b>0 \) и \(\displaystyle a\cancel{=}1)\)
получаем:
\(\displaystyle 64=(x-6)^2{\small ,}\)
\(\displaystyle 64=x^2-12x+36{\small .}\)
Решим полученное квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2-12x-28= 0{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle {\rm D}= (-12)^2-4\cdot(-28)=144+112=256{\small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-12)-\sqrt{256}}{2}=\frac{12-16}{2}=-2{\small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-12)+\sqrt{256}}{2}=\frac{12+16}{2}=14{\small .}\)
Проверим корни на принадлежность ОДЗ:
\(\displaystyle x=-2: \) \(\displaystyle -2\color{red}<6\,\, и\,\, -2\,\cancel{=}\,7\) – не удовлетворяет ОДЗ;
\(\displaystyle x=14: \) \(\displaystyle 14>6\,\, и\,\, 14\,\cancel{=}\,7\) – удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(\displaystyle x=14{\small .} \)