Суретте көрсетілген \(\displaystyle x=-2{\small}\) графиктің тік асимптотасы бар

\(\displaystyle \frac{kx+a}{x+b}\) өрнегі дәл бір \(\displaystyle x=-b{\small}\)  нүктеде анықталмаған

Демек, \(\displaystyle -b=-2{ \small ,}\) осыдан \(\displaystyle b=2\) және \(\displaystyle f(x)\) функциясы келесі түрде болады:

\(\displaystyle f(x)=\frac{kx+a}{x+2}{\small.}\)

 \(\displaystyle k\) және  \(\displaystyle a{\small}\) коэффициенттерін табыңыз. Ол үшін  \(\displaystyle k\) және \(\displaystyle a{\small,}\) теңдеулер жүйесін құрастырамыз, содан кейін оны шешеміз.

\(\displaystyle k\) және \(\displaystyle a{\small}\) үшін теңдеулер жүйесін құрайық.

 \(\displaystyle y=\frac{kx+a}{x+2}\) гиперболаның \(\displaystyle (-1;\, -2)\) және \(\displaystyle (3;\, 2){\small}\) нүктелері арқылы өтетінін ескеріңіз.

Демек, 

• егер \(\displaystyle \color{blue}{x=-1}\) және   \(\displaystyle \color{blue}{y=-2}\) гипербола теңдеуіне \(\displaystyle \frac{kx+a}{x+2}\) ауыстырсақ, онда бірінші дұрыс теңдік аламыз \(\displaystyle k\) және \(\displaystyle a\)) бойынша бірінші теңдеу),
• егер гиперболаның теңдеуіне \(\displaystyle \frac{kx+a}{x+2}\) \(\displaystyle \color{green}{x=3}\) және   \(\displaystyle \color{green}{y=2},\) ауыстырсақ, онда біз екінші дұрыс теңдік аламыз ( \(\displaystyle k\) және \(\displaystyle a\) бойынша екінші теңдеу).

Сонда біз аламыз:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\color{blue}{-2}&=\frac{k\cdot(\color{blue}{-1})+a}{\color{blue}{-1}+2}{\small,}\\\color{green}{2}&=\frac{k\cdot\color{green}{3}+a}{\color{green}{3}+2}{\small.}\end{aligned}\right.\)

Түрлендіру арқылы біз мынаны аламыз:

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}{-2}&={-k+a}{\small,}\\10&={3k}+a{\small.}\end{aligned}\right.\)

Осы теңдеулер жүйесін шешейік.

Бірінші теңдеуден \(\displaystyle a\) \(\displaystyle k{\small}\) арқылы өрнектейміз.

\(\displaystyle {-2}={-k+a}{\small,}\)

\(\displaystyle a=k-2{\small.}\)

Екінші теңдеудегі \(\displaystyle a\) өрнегін \(\displaystyle \color{magenta}{k-2}{\small,}\) орнына қойсақ, мынаны аламыз:

\(\displaystyle {10}=3k+\color{magenta}{k-2}{\small,}\)

\(\displaystyle 12=4k{\small,}\)

\(\displaystyle k=3{\small.}\)

Содан кейін:

\(\displaystyle a=3-2=1{\small.}\)

Осылайша,

\(\displaystyle k=3\) және \(\displaystyle a=1{\small.}\)

Жауабы: \(\displaystyle k=3{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) және \(\displaystyle b=2{\small.}\)