Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата суммы - 1

Задание

Считая параметр \(\displaystyle z\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением  так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
 

\(\displaystyle 25+\)\(\displaystyle +z^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 25=5^2,\) и поэтому нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\,2}=25\) или \(\displaystyle a^{\,2}=5^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=z^{\,2},\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5},\)  \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{z}\) или \(\displaystyle \color{green}{-z}.\)

Поскольку параметр \(\displaystyle z\) положителен и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{5},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{z}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5\cdot z,\)

\(\displaystyle 2ab=10z.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=25+\, \color{red}{10z} \, +z^{\,2}\)

и

\(\displaystyle 25+\, 10z \, +z^{\,2}=(5+z\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle 25+\, 10z \, +z^{\,2}=(5+z\,)^2.\)