Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата суммы - 1

Задание

Считая параметры \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle w\) положительными, дополните выражение удвоенным произведением  так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
 

\(\displaystyle 81g^{\, 2}+\)\(\displaystyle +25w^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 81g^{\,2}=9^{\,2}g^{\,2}=(9g\,)^2\) и \(\displaystyle 25w^{\,2}=5^{\,2}w^{\,2}=(5w\,)^2.\) Поэтому нам известны квадраты

\(\displaystyle a^{\,2}=81g^{\,2}\) или \(\displaystyle a^{\,2}=(9g\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=25w^{\,2}\) или \(\displaystyle b^{\,2}=(5w\,)^2,\)

но неизвестно удвоенное произведение

\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{9g}\) или \(\displaystyle \color{green}{-9g},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5w}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5w}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle w\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{9g},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{5w}.\)

Поэтому

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 9g\cdot 5w,\)

\(\displaystyle 2ab=90gw.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=81g^{\,2}+\, \color{red}{ 90gw} \, +25w^{\,2},\)

и

\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, 90gw \, +25w^{\,2}=(9g+5w\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle 81g^{\,2}+\, 90gw \, +25w^{\,2}=(9g+5w\,)^2.\)