Бізге

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}\)

өрнегі қосындының толық квадраты болып табылатындығы және екінші квадратты табу керек екендігі белгілі.

Демек, кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}+2ab+\color{red}{b^{\,2}}\).

Бізге бір квадрат және екі еселенген көбейтінді белгілі:

\(\displaystyle (3x\,)^2=a^{\,2},\)

\(\displaystyle 6xy=2ab,\)

бірақ табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін

\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\) екінші квадрат белгісіз

 \(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2\) дегеннен \(\displaystyle a=3x\) немесе \(\displaystyle a=-3x\) шығады.

Егер \(\displaystyle a=3x,\) болса, онда теңдікке \(\displaystyle a\)  орнына \(\displaystyle 6xy=2ab\) ауыстыра отырып, төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle 6xy=2\cdot 3x\cdot b,\)

\(\displaystyle 6xy=6xb,\)

\(\displaystyle b=\frac{6xy}{6x},\)

\(\displaystyle b=y.\)

Сондықтан жетіспейтін квадрат келесіге тең

\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)

Осылайша, 

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(3x\,)^2+6xy+\color{red}{y^{\,2}}\)

және

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)