Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}+2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle (3x\,)^2=a^{\,2},\)

\(\displaystyle 6xy=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат

\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle a=3x\) или \(\displaystyle a=-3x.\)

Если \(\displaystyle a=3x,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle a\)  в равенство \(\displaystyle 6xy=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 6xy=2\cdot 3x\cdot b,\)

\(\displaystyle 6xy=6xb,\)

\(\displaystyle b=\frac{6xy}{6x},\)

\(\displaystyle b=y.\)

Поэтому недостающий квадрат равен

\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(3x\,)^2+6xy+\color{red}{y^{\,2}}\)

и

\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2.\)