Бізге

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}\)

өрнегі қосындының толық квадраты болып табылатындығы және екінші квадратты табу керек екендігі белгілі.

Демек, кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{a^{\,2}}+2ab+b^{\,2}\)

Алдымен \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) ескерейік, сондықтан бізге бір квадрат және екі еселенген көбейтінді белгілі:

\(\displaystyle (7x\,)^2=b^{\,2},\)

\(\displaystyle 42zx=2ab,\)

бірақ табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін

\(\displaystyle \color{red}{?}=a^{\,2}\) екінші квадрат белгісіз.

\(\displaystyle b^{\,2}=(7x\,)^2,\) дегеннен \(\displaystyle b=7x\) немесе \(\displaystyle b=-7x\) шығады.

Егер \(\displaystyle b=7x,\) болса, онда теңдікке \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 42zx=2ab,\) ауыстыра отырып, төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle 42zx=2\cdot a \cdot 7x,\)

\(\displaystyle 42zx=14ax,\)

\(\displaystyle a=\frac{42zx}{14x},\)

\(\displaystyle a=3z.\)

Сондықтан жетіспейтін квадрат келесіге тең

\(\displaystyle \color{red}{?}=(3z\,)^2.\)

Осылайша

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{(3z\,)^2}+42zx+49x^{\,2}\)

және

\(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2.\)