Нам известно, что выражение

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}\)

является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{a^{\,2}}+2ab+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Сначала заметим, что \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2,\) и поэтому нам известен один квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle (7x\,)^2=b^{\,2},\)

\(\displaystyle 42zx=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат

\(\displaystyle \color{red}{?}=a^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Из того, что \(\displaystyle b^{\,2}=(7x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle b=7x\) или \(\displaystyle b=-7x.\)

Если \(\displaystyle b=7x,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle b\) в равенство \(\displaystyle 42zx=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 42zx=2\cdot a \cdot 7x,\)

\(\displaystyle 42zx=14ax,\)

\(\displaystyle a=\frac{42zx}{14x},\)

\(\displaystyle a=3z.\)

Поэтому недостающий квадрат равен

\(\displaystyle \color{red}{?}=(3z\,)^2.\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{(3z\,)^2}+42zx+49x^{\,2}\)

и

\(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2.\)