Екі еселенген көбейтіндіге дейін толықтыру қажет болғандықтан, белгісіз және белгілі бөліктерін бір бүтін ретінде қарастырайық.

Біз айырманың квадратын іздегендіктен, минус «-» таңбасы бар белгісіз бөлікті аламыз:

\(\displaystyle 9y^{\,2}-\,\color{red}{?}-yx+4x^{\,2}=9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}.\)

Бізге

\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}\) өрнегі

айырманың толық квадраты болып табылатыны және екі еселенген көбейтіндіні табу керектігі белгілі.

Демек, кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle 9y^{\,2}-\color{red}{(\,?+yx\,)}+4x^{\,2}=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

\(\displaystyle 9y^{\,2}=3^2y^{\,2}=(3y\,)^2\) және \(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2\) ескерейік.

Бізге квадраттар белгілі:

 \(\displaystyle a^{\,2}=(3y\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(2x\,)^2,\)

бірақ екі еселенген көбейтінді белгісіз:

\(\displaystyle 2ab=\color{red}{(\,?+yx\,)}.\)

Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle \color{blue}{3y}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-3y},\,b\) \(\displaystyle \color{blue}{2x}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-2x}\) болуы мүмкін.

\(\displaystyle x\) және \(\displaystyle y\) параметрлері оң және бізге оң сандардың айырмасының квадратын алу қажет болғандықтан, онда \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) оң, яғни «+» таңбасымен аламыз:

\(\displaystyle a=\color{blue}{3y},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{2x}.\)

Сонда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3y\cdot 2x,\)

\(\displaystyle 2ab=12yx.\)

Демек,

\(\displaystyle \color{red}{?+yx}=12yx,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=12yx-yx,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=11yx.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 9y^{\,2}-\,\color{red}{?}-yx+4x^{\,2}=9y^{\,2}-\color{red}{11yx}-yx+4x^{\,2}\)

және

\(\displaystyle 9y^{\,2}{\bf -\,11}\pmb{y}\pmb{x}-yx+4x^{\,2}=({\bf 3y-2x}\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle 9y^{\,2}{\bf -\,11}\pmb{y}\pmb{x}-yx+4x^{\,2}=({\bf 3y-2x}\,)^2.\)