Так как надо дополнить до удвоенного произведения, то рассмотрим неизвестную и известную части как единое целое.

Поскольку мы ищем квадрат разности, то возьмем неизвестную часть со знаком минус "-":

\(\displaystyle (3x\,)^2 -\,\color{red}{ ?} -3xy+(4y\,)^2=(3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2.\)

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle (3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2\)

является полным квадратом разности, в котором необходимо найти удвоенное произведение.

Следовательно,

\(\displaystyle (3x\,)^2-\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle (3x\,)^2 -\color{red}{(\,?+3xy\,)}+(4y\,)^2=a^{\,2}-\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

Нам известны квадраты:

\(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(4y\,)^2,\)

но удвоенное произведение не известно:

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}\color{red}{(\,?+3xy\,)}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{3x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-3x},\, b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{4y}\) или \(\displaystyle \color{green}{-4y}.\)

Поскольку параметры \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) положительны и нам требуется получить квадрат разности положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":

\(\displaystyle a=\color{blue}{3x},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{4y}.\)

Тогда

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3x\cdot 4y,\)

\(\displaystyle 2ab=24xy.\)

Следовательно,

\(\displaystyle \color{red}{ ?+3xy}=24xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=24xy-3xy,\)

\(\displaystyle \color{red}{ ?}=21xy.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (3x\,)^2 -\,\color{red}{ ?}-3xy+(4y\,)^2=(3x\,)^2 {\bf-}\color{red}{ 21xy}-3xy+(4y\,)^2\)

и

\(\displaystyle (3x\,)^2 {\bf -\,21}\pmb{x}\pmb{y}-3xy+(4y\,)^2=({\bf 3}\pmb{x}-{\bf 4}\pmb{y}\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2 {\bf -\,21}\pmb{x}\pmb{y}-3xy+(4y\,)^2=({\bf 3}\pmb{x}-{\bf 4}\pmb{y}\,)^2.\)