Екінші қосылғыштың квадратын толықтыру қажет болғандықтан, онда белгісіз және өрнегін бір бүтін ретінде қарастырайық \(\displaystyle -7z^{\,2}\):

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz+\,\color{red}{?}-7z^{\,2}=36x^{\,2}-60xz+\color{red}{(\,?-7z^{\,2})}.\)

Бізге

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz+\color{red}{(\,?-7z^{\,2})}\) өрнегі

айырманың толық квадраты болып табылатыны және екінші квадратты табу қажет екені белгілі.

Демек, кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz+\color{red}{(\,?-7z^{\,2})}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz+\color{red}{(\,?-7z^{\,2})}=a^{\, 2}-2ab+\color{red}{b^{\, 2}}\)

\(\displaystyle 36x^{\,2}=6^2x^{\,2}=(6x\,)^2\) ескерейік.

Бізге бірінші квадрат және екі еселенген көбейтінді белгілі:

\(\displaystyle a^{\, 2}=36x^{\,2}\) немесе \(\displaystyle a^{\, 2}=(6x\,)^2,\)

\(\displaystyle 60xz=2ab,\)

бірақ екінші квадрат белгісіз:

\(\displaystyle \color{red}{(\,?-7z^{\,2})}=b^{\,2}.\)

\(\displaystyle a^{\, 2}=(6x\,)^2\) дегеннен  \(\displaystyle a=6x\) немесе \(\displaystyle a=-6x\) шығады.

Плюс «+» таңбасы бар нұсқаны, яғни \(\displaystyle a=6x\) таңдайық.

Сонда, \(\displaystyle 60xz=2ab\) теңдігіне \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 6x\) өрнегін алмастыра отырып, төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle 60xz=2\cdot 6x \cdot b,\)

\(\displaystyle b=\frac{\phantom{x}60xz\phantom{x}}{2\cdot 6x},\)

\(\displaystyle b=5z.\)

Әрі қарай жетіспейтін мәнді табуға болады:

\(\displaystyle \color{red}{?-7z^{\,2}}=(5z\,)^2,\)

\(\displaystyle \color{red}{?-7z^{\,2}}=5^2z^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?-7z^{\,2}}=25z^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=25z^{\,2}+7z^{\,2},\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=32z^{\,2}.\)

Осылайша, 

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz+\,\color{red}{?}-7z^{\,2}=36x^{\,2}-60xz+\color{red}{32z^{\,2}}-7z^{\,2}\)

және

\(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz \,{\bf +\,32}\pmb{z}^{\,\bf 2}-7z^{\,2}=({\bf 6x-5z}\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle 36x^{\,2}-60xz \,{\bf +\,32}\pmb{z}^{\,\bf 2}-7z^{\,2}=({\bf 6x-5z}\,)^2.\)