«Кубтардың айырмасы» формуласын пайдаланып, өрнектердің көбейтіндісін табыңыз:
\(\displaystyle (4x-3y\,)(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})=\)\(\displaystyle ^3\)\(\displaystyle ^3\)
Санды дәрежесіз бөлек ұяшыққа жазыңыз.
Кез келген \(\displaystyle a, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)Кубтардың айырмасы
«Кубтардың айырмасы» формуласын кері тәртіпте қайта жазайық:
\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)
Формуланың сол жағын және берілген өрнекті салыстырайық:
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(4x-3y\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)
\(\displaystyle 16x^{\,2}=4^2x^{\,2}=(4x\,)^2\) және \(\displaystyle 9y^{\,2}=3^2y^{\,2}=(3y\,)^2\) болғандықтан, келесідей жазуға болатындығын ескерейік
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(4x-3y\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)
Енді екі қосылғышы бар жақшалар бір-біріне тең, және үш қосылғышы бар жақшалар да бір-біріне тең деп болжауға болады:
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(4x-3y\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\\color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)
Аталған теңдіктер \(\displaystyle a=4x\) және \(\displaystyle b=3y\) кезінде дұрыс. Демек,
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(4x-3y\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{(4x\,)^3-(3y\,)^3}.\end{array}\end{aligned}\)
Және \(\displaystyle (4x\,)^3=4^3x^{\,3}=64x^{\,3}\) және \(\displaystyle (3y\,)^3=3^3y^{\,3}=27y^{\,3},\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle (4x\,)^3-(3y\,)^3=64x^{\,3}-27y^{\,3}.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (4x-3y\,)(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})=64x^{\,3}-27y^{\,3}.\)
Жауабы: \(\displaystyle {\bf 64x}^{\,3}-{\bf 27y}^{\,3}.\)
\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\) өрнегі \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлері айырмасының толымсыз квадраты деп аталады.Қосындының толымсыз квадраты