Найдите произведение выражений, используя формулу "разность кубов":
\(\displaystyle (4x-3y\,)(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})=\)\(\displaystyle ^3\)\(\displaystyle ^3\)
Числа запишите в отдельных ячейках без степени.
Разность кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)
Перепишем формулу "разность кубов" в обратном порядке:
\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)
Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(4x-3y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Заметим, что поскольку \(\displaystyle 16x^{\,2}=4^2x^{\,2}=(4x\,)^2\) и \(\displaystyle 9y^{\,2}=3^2y^{\,2}=(3y\,)^2,\) то можно записать
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ \color{blue}{(4x-3y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ \color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)} \end{array} \begin{array}{l} =a^{\,3}-b^{\,3},\\ =\,? \end{array} \end{aligned}\)
Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:
\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{(4x-3y\,)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\ \color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}. \end{aligned}\)
Данные равенства верны при \(\displaystyle a=4x\) и \(\displaystyle b=3y.\) Cледовательно,
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{c} {\color{blue}{(a-b\,)}}\\ {\small |\;|}\\ \color{blue}{(4x-3y\,)} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} \color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\ {\small |\;|}\\ \color{green}{((4x\,)^2+12xy+(3y\,)^2)} \end{array} \begin{array}{c} =\\ \phantom{=}\\ = \end{array} \begin{array}{c} \color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\ {\small |\;|}\\ \color{red}{(4x\,)^3-(3y\,)^3}. \end{array} \end{aligned}\)
И, поскольку \(\displaystyle (4x\,)^3=4^3x^{\,3}=64x^{\,3}\) и \(\displaystyle (3y\,)^3=3^3y^{\,3}=27y^{\,3},\) то
\(\displaystyle (4x\,)^3-(3y\,)^3=64x^{\,3}-27y^{\,3}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (4x-3y\,)(16x^{\, 2}+12xy+9y^{\,2})=64x^{\,3}-27y^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf 64x}^{\,3}-{\bf 27y}^{\,3}.\)
Неполный квадрат суммы
Выражение\(\displaystyle a^{\,2}+ab+b^{\,2}\)
называется неполным квадратом суммы параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)