Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теориясы: 08 \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)= 2\sqrt{3}\) теңдеуі

Тапсырма

Теңдеуі

 \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\)

екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:

\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)

Шешім

\(\displaystyle \cos(x){\small}\) өрнегінің оң жағын бір функцияға келтірейік.

Ол үшін \(\displaystyle \color{blue}{\cos(2x)}=\color{blue}{2\cos^2(x)-1}{\small}\) формуланы қолданамыз.

Нәтижесінде:

 \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\cos(2x)}+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small ,}\)

\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}(\color{blue}{2\cos^2(x)-1})+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small}\) аламыз.

\(\displaystyle y=\cos x{\small}\) ауыстыру жасайық:

\(\displaystyle 4y^3-2\sqrt{3}(2y^2-1)+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)

Жақшаларды ашайық:

\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+2\sqrt{3}+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)

Барлығын солға ауыстырамыз

 \(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0{\small .}\)

Қысқарту арқылы:

 \(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y=0{\small .}\)


Алынған теңдеуді шешеміз.

\(\displaystyle y \) жақшадан шығарамыз:

 \(\displaystyle y(4y^2-4\sqrt{3}y+3)=0{\small .}\)

Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, егер олардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса:

 \(\displaystyle y=0\) немесе \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small .}\)

Квадрат теңдеудің \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0\) бір түбірі бар

\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

Теңдеуін шешеміз

\(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small.}\)

Дискриминант

\(\displaystyle {\rm D}=(4\sqrt{3})^2-4\cdot 4\cdot 3=0\)

және жалғыз түбір

\(\displaystyle y=\frac{4\sqrt{3}+0}{2\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

Осылайша,

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)

\(\displaystyle y=\cos(x){ \small}\) болғандықтан, \(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small}\) қарапайым тригонометриялық теңдеулерді аламыз.