\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\) теңдеуі екі теңдеуге тең.
\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}{\small .}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) аралықтан \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=\frac{13\pi}{6}\)
\(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small }\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle 2- \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{6}+2n- \frac{1}{6}\leqslant \frac{7}{2}- \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{11}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{20}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{11}{12}\leqslant n \leqslant \frac{20}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 1,\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot 1=\frac{13\pi}{6}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{6}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөлікке \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small}\) қосамыз:
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{6}\leqslant -\frac{1}{6}+2n + \frac{1}{6}\leqslant \frac{7}{2}+ \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{13}{6}\leqslant2n \leqslant \frac{22}{6}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{13}{12}\leqslant n \leqslant \frac{22}{12}{ \small .}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}\) кесіндідегі \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) теңдеуінің \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small}\) бір шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{13\pi}{6}{\small .}\)