Бірмүшелердің дұрыс топтастырылуын тауып, көбейткіштерге жіктеңіз:
Берілген көпмүшені стандарт түрде жазайық:
\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}-15x^{\, 9}-6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=10x^{\,13}-15x^{\, 9}+4x^{\,8}+20x^{\,5}-6x^{\,4}+8{\small .}\)
Бастапқыда бұл көпмүше екі көпмүшенің көбейтіндісі екенін білеміз, олардың біреуінде тек үш қосылғыш, екіншісінде екі қосылғыш бар. Сондықтан үш қосылғыштан топтастырамыз.
Топтастыру әдісінде ең жоғары дәрежелі бірмүшені ең кіші дәрежелі бірмүшемен топтастыруға болмайды (кіші дәреже нөлге тең болуы мүмкін).
Біздің жағдайда жоғары дәрежелі бірмүше – бұл \(\displaystyle 10x^{\,13}\) (он үшінші дәреже), ал кіші дәрежелі бірмүше – бұл \(\displaystyle 8\) (нөлдік дәреже). Яғни, \(\displaystyle 10x^{\,13}\) және \(\displaystyle 8\) бірмүшелері әрқашан әр түрлі жақшада болуы керек.
Сондықтан есептің шартында берілген топтастыруды ескере отырып үш мүмкін нұсқаны аламыз:
1) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small ,}\)
2) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{red}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{4x^{\,8}}\big)+\big(\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small ,}\)
3) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{red}{6x^{\,4}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{red}{6x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{20x^{\,5}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}\big){\small .}\)
Ұсынылған нұсқалардың әрқайсысын көбейтіндіге жіктеуді кездестірмейінше қарастыра береміз.
1. Бірінші нұсқаны қарастырайық:
\(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}+\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small .}\)
\(\displaystyle (10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}){\small }\) бірінші жақшасындағы өрнек үшін ортақ көбейткішті шығарайық.
- \(\displaystyle 10,\ 15\) және \(\displaystyle 20\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(10,15,20)=5{\small }\) тең
- Ең аз дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы (\(\displaystyle x^{\,13},\, x^{\,9}\) және \(\displaystyle x^{\,5}\) арасынан таңдаймыз) \(\displaystyle x^{\,5}{\small }\) тең.
Яғни, \(\displaystyle (10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5})\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 5x^{\, 5}{\small }\)тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4){\small .}\)
\(\displaystyle (4x^{\,8}-6x^{\,4}+8\,){\small }\) екінші жақшасындағы өрнек үшін ортақ көбейткішті шығарайық. Соңғы қосылғыш сан болғандықтан, онда тек ортақ сандық көбейткішті шығаруға болады.
\(\displaystyle 4,\ 6\) және \(\displaystyle 4\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(4,6,4)=2{\small }\) тең. Сондықтан
\(\displaystyle 4x^{\,8}-6x^{\,4}+8=2(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4){\small .}\)
Сонда
\(\displaystyle 10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4)}\)
және
\(\displaystyle 4x^{\,8}-6x^{\,4}+8=2\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}{\small .}\)
Екі өрнектің де \(\displaystyle \color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}{\small }\) ортақ көбейткіші бар. Оны жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4)}+2\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}=\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4\,)}(5x^{\,5}+2){\small .}\)
Біз көбейткіштерге жіктеуді алдық, демек, жақшадағы қосылғыштарды топтастырудың қалған нұсқаларын қарастырудың қажеті жоқ.
Осылайша,
\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}-15x^{\, 9}-6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}-{\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4})({\bf 5}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}+{\bf 2}){\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle (2x^{\,8}-3x^{\,4}+4\,)(5x^{\,5}+2){\small .}\)