В разложении на множители нам уже известен общий множитель \(\displaystyle 3x^{\, 3}{\small .}\) Вынесем его за скобки:

\(\displaystyle 18x^{\,10}+18x^{\,3}+27x^{\,5}+9x^{\,9}+12x^{\,8}+6x^{\,7}=3x^{\,3}(6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\, 6}+4x^{\, 5}+2x^{\, 4}){\small .}\)

Далее разложим на множители многочлен \(\displaystyle 6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\, 6}+4x^{\, 5}+2x^{\, 4}\) методом группировки.

Запишем данный многочлен в стандартном виде:

\(\displaystyle 6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}=6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}+9x^{\,2}+6{\small .}\)

Поскольку нам требуется получить произведение двучлена на трехчлен, мы будем группировать по три слагаемых.
 

В нашем случае одночлен старшей степени – это \(\displaystyle 6x^{\,7}\) (седьмая степень), а одночлен младшей степени – это \(\displaystyle 6\) (нулевая степень). То есть одночлены \(\displaystyle 6x^{\,7}\) и \(\displaystyle 6\) должны быть в разных скобках.

Следовательно, получаем  шесть всех возможных вариантов группировки:

1) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

2) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{2x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

3) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

4) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

5) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

6) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{6}\big){\small .}\)

Будем рассматривать каждый из предложенных вариантов, пока не встретим разложение в произведение.

1. Первый вариант.

\(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small .}\)

Вынесем общий множитель в первой скобке \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}){\small .}\)

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 6,\ 3\) и \(\displaystyle 4\) равен \(\displaystyle НОД(6,3,4)=1{\small .}\)
2. Переменная \(\displaystyle x\) в наименьшей степени (выбираем из \(\displaystyle x^{\,7},\, x^{\,6}\) и \(\displaystyle x^{\,5}\)) равна \(\displaystyle x^{\,5}{\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}\,)\) равен \(\displaystyle x^{\, 5}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}=x^{\, 5}(6x^{\,2}+3x+4){\small .}\)

Вынесем общий множитель во второй скобке \(\displaystyle (2x^{\,4}+9x^{\,2}+6\,){\small .}\) Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 2,\ 9\) и \(\displaystyle 6\) равен \(\displaystyle НОД(2,9,6)=1{\small .}\) Поэтому общего множителя нет (исключая \(\displaystyle 1\)) и

\(\displaystyle 2x^{\,4}+9x^{\,2}+6=(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6\,){\small .}\)

Так как в разложениях

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}=x^{\, 5}\color{red}{(6x^{\,2}+3x+4)}\) и \(\displaystyle 2x^{\,4}+9x^{\,2}+6=\color{blue}{(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6\,)}\)

скобки не равны

\(\displaystyle \color{red}{(6x^{\,2}+3x+4)} =\not \color{blue}{(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6\,)}{\small ,}\)

то данный вариант группировки не подходит.

Переходим к следующему варианту группировки (и будем продолжать до тех пор, пока не получим разложение на множители).

\(\displaystyle \ldots \, \ldots\, \ldots\)

3. Третий вариант.

\(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small .}\)

Вынесем общий множитель в первой скобке \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}){\small .}\)

1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 6,\ 3\) и \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle НОД(6,3,9)=3{\small .}\)
2. Переменная \(\displaystyle x\) в наименьшей степени (выбираем из \(\displaystyle x^{\,7},\, x^{\,6}\) и \(\displaystyle x^{\,2}\)) равна  \(\displaystyle x^{\,2}{\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}\,)\) равен \(\displaystyle 3x^{\, 2}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}=3x^{\, 2}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3){\small .}\)

Вынесем общий множитель во второй скобке \(\displaystyle (4x^{\,5}+2x^{\,4}+6\,){\small .}\) Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 4,\ 2\) и \(\displaystyle 6\) равен \(\displaystyle НОД(4,2,6)=2{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 4x^{\,5}+2x^{\,4}+6=2(2x^{\,5}+x^{\,4}+3){\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}=3x^{\, 2}\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}\)

и

\(\displaystyle 4x^{\,5}+2x^{\,4}+6=2\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}{\small .}\)

Оба выражения имеют общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3\,)}{\small .}\) Вынесем его за скобки:

\(\displaystyle 3x^{\, 2}\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}+2\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}=\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3\,)}(3x^{\,2}+2){\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{rl}6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}+9x^{\,2}+6&=\big(6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}\big)+\big(4x^{\,5}+2x^{\,4}+6\big)=\\&=3x^{\, 2}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)+2(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)=\\&=(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2),\\\end{array}\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}=(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 3x^{\,3}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2){\small .}\)