Найдите верную группировку одночленов и разложите на множители:
Запишем данный многочлен в стандартном виде:
\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}-15x^{\, 9}-6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=10x^{\,13}-15x^{\, 9}+4x^{\,8}+20x^{\,5}-6x^{\,4}+8{\small .}\)
Нам изначально известно, что данный многочлен является произведением двух многочленов, в одном из которых только три слагаемых, в другом – два. Поэтому будем группировать по три слагаемых.
В методе группировки нельзя группировать одночлен самой старшей степени с одночленом самой младшей степени (младшая степень может быть равной нулю).
В нашем случае одночлен старшей степени – это \(\displaystyle 10x^{\,13}\) (тринадцатая степень), а одночлен младшей степени – это \(\displaystyle 8\) (нулевая степень). То есть одночлены \(\displaystyle 10x^{\,13}\) и \(\displaystyle 8\) всегда должны быть в разных скобках.
Поэтому с учетом заданной в условии задачи группировки получаем три возможных варианта:
1) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small ,}\)
2) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{red}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{4x^{\,8}}\big)+\big(\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small ,}\)
3) \(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+\color{blue}{20x^{\,5}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{red}{6x^{\,4}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}-\color{red}{6x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{20x^{\,5}}+\color{blue}{4x^{\,8}}+\color{blue}{8}\big){\small .}\)
Будем рассматривать каждый из предложенных вариантов, пока не встретим разложение в произведение.
1. Рассмотрим первый вариант:
\(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}+\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}=\big(\color{red}{10x^{\,13}}-\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{red}{20x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,8}}-\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}\big){\small .}\)
Вынесем общий множитель для выражения в первой скобке \(\displaystyle (10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}){\small .}\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10,\ 15\) и \(\displaystyle 20\) равен \(\displaystyle НОД(10,15,20)=5{\small .}\)
- Переменная \(\displaystyle x\) в наименьшей степени (выбираем из \(\displaystyle x^{\,13},\, x^{\,9}\) и \(\displaystyle x^{\,5}\)) равна \(\displaystyle x^{\,5}{\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5})\) равен \(\displaystyle 5x^{\, 5}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:
\(\displaystyle 10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4){\small .}\)
Вынесем общий множитель для выражения во второй скобке \(\displaystyle (4x^{\,8}-6x^{\,4}+8\,){\small .}\) Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.
Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 4,\ 6\) и \(\displaystyle 4\) равен \(\displaystyle НОД(4,6,4)=2{\small .}\) Поэтому
\(\displaystyle 4x^{\,8}-6x^{\,4}+8=2(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4){\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 10x^{\,13}-15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4)}\)
и
\(\displaystyle 4x^{\,8}-6x^{\,4}+8=2\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}{\small .}\)
Оба выражения имеют общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}{\small .}\) Вынесем его за скобки:
\(\displaystyle 5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\, 4}+4)}+2\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4)}=\color{blue}{(2x^{\,8}-3x^{\,4}+4\,)}(5x^{\,5}+2){\small .}\)
Мы получили разложение на множители, следовательно, нет необходимости рассматривать остальные варианты группировки слагаемых в скобках.
Таким образом,
\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}-15x^{\, 9}-6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}-{\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4})({\bf 5}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}+{\bf 2}){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle (2x^{\,8}-3x^{\,4}+4\,)(5x^{\,5}+2){\small .}\)