Алдымен ортақ көбейткішті табайық.

1. Сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:

• \(\displaystyle 18=2\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 18=2\cdot 3^2\)
• \(\displaystyle 27=3^3\)
• \(\displaystyle 9=3^2\)
• \(\displaystyle 12=2^2\cdot 3\)
• \(\displaystyle 6=2\cdot 3\)

Жай көбейткіштерге жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 3{\small }\) тең екендігі шығады.  

2. Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы (\(\displaystyle x^{\,10}, \, x^{\, 3},\, x^{\, 5},\, x^{\,9},\, x^{\,8} \) және \(\displaystyle x^{\,7}\) арасынан таңдаймыз) \(\displaystyle x^{\,3}{\small }\) тең.

Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 3x^{\,3}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарайық:

\(\displaystyle 18x^{\,10}+18x^{\,3}+27x^{\,5}+9x^{\,9}+12x^{\,8}+6x^{\,7}=3x^{\,3}(6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\, 6}+4x^{\, 5}+2x^{\, 4}){\small .}\)

Әрі қарай \(\displaystyle 6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\, 6}+4x^{\, 5}+2x^{\, 4}\) көпмүшесін топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктейік.

Берілген көпмүшені стандарт түрде жазайық:

\(\displaystyle 6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}=6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}+9x^{\,2}+6{\small .}\)

Бізге екімүшенің үшмүшеге көбейтіндісін алу қажет болғандықтан, біз үш қосылғыштан топтастырамыз.

Біздің жағдайда жоғары дәрежелі бірмүше – бұл \(\displaystyle 6x^{\,7}\) (жетінші дәреже), ал кіші дәрежелі бірмүше – бұл \(\displaystyle 6\) (нөлдік дәреже). Яғни, \(\displaystyle 6x^{\,7}\) және \(\displaystyle 6\) бірмүшелері әр түрлі жақшада болуы керек. 

Сондықтан топтастырудың барлық мүмкін алты нұсқасын аламыз:

1) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

2) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{2x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

3) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

4) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

5) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

6) \(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{6}\big){\small .}\)

Ұсынылған нұсқалардың әрқайсысын көбейтіндіге жіктеуді кездестірмейінше қарастыра береміз.

1. Бірінші нұсқа.

\(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{4x^{\,5}}\big)+\big(\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

\(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}){\small }\) бірінші жақшасында ортақ көбейткішті шығарайық.

1. \(\displaystyle 6,\ 3\) және \(\displaystyle 4\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(6,3,4)=1{\small }\) тең.  
2. Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы (\(\displaystyle x^{\,7},\, x^{\,6}\) және \(\displaystyle x^{\,5}\) арасынан таңдаймыз) \(\displaystyle x^{\,5}{\small }\) тең.

Яғни, \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5})\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle x^{\, 5}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}=x^{\, 5}(6x^{\,2}+3x+4){\small .}\)

\(\displaystyle (2x^{\,4}+9x^{\,2}+6){\small }\) екінші жақшасындағы ортақ көбейткішті шығарайық. Соңғы қосылғыш сан болғандықтан, онда тек ортақ сандық көбейткішті шығаруға болады.

\(\displaystyle 2,\ 9\) және \(\displaystyle 6\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(2,9,6)=1{\small }\) тең. Сондықтан ортақ көбейткіш жоқ (\(\displaystyle 1\) қоспағанда) және 

\(\displaystyle 2x^{\,4}+9x^{\,2}+6=(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6){\small .}\)

Келесі жіктеулерде

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}=x^{\, 5}\color{red}{(6x^{\,2}+3x+4)}\) және \(\displaystyle 2x^{\,4}+9x^{\,2}+6=\color{blue}{(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6)}\)

жақшалар тең болмағандықтан

\(\displaystyle \color{red}{(6x^{\,2}+3x+4)} =\not \color{blue}{(2x^{\,4}+9x^{\,2}+6)}{\small ,}\)

онда бұл топтастыру нұсқасы сәйкес келмейді.

Келесі топтастыру нұсқасына өтейік (және көбейткіштерге жіктеуді алғанға дейін жалғастыра береміз).

\(\displaystyle \ldots \, \ldots\, \ldots\)

3. Үшінші нұсқа.

\(\displaystyle \color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{red}{9x^{\,2}}+\color{blue}{6}=\big(\color{red}{6x^{\,7}}+\color{red}{3x^{\,6}}+\color{red}{9x^{\,2}}\big)+\big(\color{blue}{4x^{\,5}}+\color{blue}{2x^{\,4}}+\color{blue}{6}\big){\small ,}\)

\(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}){\small }\) бірінші жақшасында ортақ көбейткішті шығарайық.

1. \(\displaystyle 6,\ 3\) және \(\displaystyle 9\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(6,3,9)=3{\small }\) тең.            
2. Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы (\(\displaystyle x^{\,7},\, x^{\,6}\) және \(\displaystyle x^{\,2}\) арасынан таңдаймыз) \(\displaystyle x^{\,2}{\small }\) тең.

Яғни, \(\displaystyle (6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}\,)\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 3x^{\, 2}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, келесіні аламыз:          

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}=3x^{\, 2}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3){\small .}\)

\(\displaystyle (4x^{\,5}+2x^{\,4}+6){\small }\) екінші жақшасындағы ортақ көбейткішті шығарайық. Соңғы қосылғыш сан болғандықтан, онда тек ортақ сандық көбейткішті шығаруға болады.

\(\displaystyle 4,\ 2\) және \(\displaystyle 6\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(4,2,6)=2{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle 4x^{\,5}+2x^{\,4}+6=2(2x^{\,5}+x^{\,4}+3){\small .}\)

Сонда

\(\displaystyle 6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}=3x^{\, 2}\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}\)

және

\(\displaystyle 4x^{\,5}+2x^{\,4}+6=2\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}{\small .}\)

Екі өрнектің де ортақ көбейткіші бар \(\displaystyle \color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}{\small .}\) Оны жақшаның сыртына шығарайық: 

\(\displaystyle 3x^{\, 2}\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}+2\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}=\color{blue}{(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)}(3x^{\,2}+2){\small .}\)

Осылайша,

\(\displaystyle \begin{aligned}6x^{\,7}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4}+9x^{\,2}+6&=\big(6x^{\,7}+3x^{\,6}+9x^{\,2}\big)+\big(4x^{\,5}+2x^{\,4}+6\big)=\\&=3x^{\, 2}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)+2(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)=\\&=(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2),\\\end{aligned}\)

және, демек,

\(\displaystyle \begin{aligned}18x^{\,10}+18x^{\,3}+27x^{\,5}+9x^{\,9}+12x^{\,8}+6x^{\,7}&=3x^{\,3}(6x^{\,7}+6+9x^{\,2}+3x^{\,6}+4x^{\,5}+2x^{\,4})=\\&=3x^{\,3}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2){\small .}\end{aligned}\)

Жауабы: \(\displaystyle 3x^{\,3}(2x^{\,5}+x^{\,4}+3)(3x^{\,2}+2){\small .}\)