Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). В исходном выражении лишь одна переменная встречается дважды, это переменная \(\displaystyle z {\small .}\) Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 10y^{\,13}+16y^{\,9}-35y^{\,4}\color{red}{z^{\,3}}-56\color{red}{z^{\,3}}=(-35y^{\,4}\color{red}{z^{\,3}}-56\color{red}{z^{\,3}})+(10y^{\,13}+16y^{\,9}) {\small .}\)

Общий множитель для \(\displaystyle (-35y^{\,4}z^{\,3}-56z^{\,3})\) равен \(\displaystyle 7z^{\,3} {\small .}\)

Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle -35y^{\,4}z^{\,3}-56z^{\,3}=7z^{\,3}\,(-5y^{\,4}-8) {\small .}\)

Общий множитель для \(\displaystyle (10y^{\,13}+16y^{\,9})\) равен \(\displaystyle 2y^{\,9} {\small .}\)

Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 10y^{\,13}+16y^{\,9}=2y^{\,9}\, (5y^{\,4}+8){\small .}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (-35y^{\,4}z^{\,3}-56z^{\,3})+(10y^{\,13}+16y^{\,9})= 7z^{\,3}\,(-5y^{\,4}-8)+2y^{\,9}\, (5y^{\,4}+8) {\small .}\)

Заметим, что множители \(\displaystyle (-5y^{\,4}-8)\) и \(\displaystyle (5y^{\,4}+8)\) отличаются только знаком, то есть

\(\displaystyle (-5y^{\,4}-8)=-(5y^{\,4}+8) {\small .}\)

Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-5y^{\,4}-8)\) на \(\displaystyle -(5y^{\,4}+8){\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} 7z^{\,3}\,\color{red}{(-5y^{\,4}-8)}+2y^{\,9}\,(5y^{\,4}+8)= \\[10px] \kern{5em} =7z^{\,3}\,\color{red}{\Big(-(5y^{\,4}+8)\Big)}+2y^{\,9}\,(5y^{\,4}+8)= \\[10px] \kern{10em} =-7z^{\,3}\,(5y^{\,4}+8)+2y^{\,9}\,(5y^{\,4}+8) {\small .} \end{array}\)

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (5y^{\,4}+8) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle -7z^{\,3}\,\color{blue}{(5y^{\,4}+8)}+2y^{\,9}\,\color{blue}{(5y^{\,4}+8)}=\color{blue}{(5y^{\,4}+8)} (-7z^{\,3}+2y^{\,9}) {\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 10y^{\,13}+16y^{\,9}-35y^{\,4}z^{\,3}-56z^{\,3}=({\bf 5}{\pmb y}^{\,{\bf 4}}+{\bf 8})(-{\bf 7}{\pmb z}^{\,{\bf 3}}+{\bf 2}{\pmb y}^{\,{\bf 9}}) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (5y^{\,4}+8) (-7z^{\,3}+2y^{\,9}) {\small .}\)