Дополните квадратное уравнение справа и слева одной и той же дробью так, чтобы слева получился полный квадрат:
\(\displaystyle x^2-9x=-1\)
Запишите получившееся равносильное квадратное уравнение:
Квадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Для того чтобы дополнить выражение \(\displaystyle x^2-9x\) до полного квадрата, распишем его так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 9x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{9}{2}{\small .}\)
Сравним формулу полного квадрата и наше выражение:
\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{9}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)
Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=\frac{9}{2}{\small , }\) и к нижнему выражению нужно добавить \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{9}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{81}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности.
Дополним равенство
\(\displaystyle x^2-9x=-1\)
с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{\frac{81}{4}}\)
\(\displaystyle x^2-9x+\color{green}{\frac{81}{4}}=-1+\color{green}{\frac{81}{4}}\)
и распишем квадрат разности слева явно:
\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{9}{2}\cdot x+\color{green}{\left(\frac{9}{2}\right)^2}=\frac{77}{4}{\small . }\)
Следовательно,
\(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{77}{4}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{77}{4}{\small .}\)