Для того чтобы дополнить выражение \(\displaystyle x^2-3x+1\) до полного квадрата, распишем \(\displaystyle 3x \) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 3x}{ \color{red}{2} }+1=x^2-2\cdot x \cdot \frac{3}{2}+1{\small .}\)

Сравним формулу и выражение \(\displaystyle x^2-2\cdot x \cdot \frac{3}{2}{\small : } \)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{3}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=\frac{3}{2}{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{3}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{9}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности.

Значит, прибавим и вычтем в выражении \(\displaystyle x^2-3x \) число \(\displaystyle \frac{9}{4} \) так, чтобы в выражении

\(\displaystyle x^2-3x+1\)

получить полный квадрат:

\(\displaystyle \left(x^2-3x+\color{green}{\frac{9}{4}}\right)-\color{green}{ \frac{9}{4}}+1=0{\small .}\)

Распишем квадрат разности слева явно:

\(\displaystyle \left(x^2-2\cdot x \cdot \frac{3}{2}+\color{green}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right)-\frac{5}{4}=0{\small . }\)

Следовательно,

\(\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}{\small .}\)