В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат со стороной \(\displaystyle BC{\small.} \) Значит,  площадь основания равна

\(\displaystyle S_{осн}=BC^2 {\small.} \)

Подставим \(\displaystyle BC{\small:}\) 

\(\displaystyle S_{осн}=4^2=16{\small.} \)

Требуется найти площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) правильной пирамиды. Эта площадь равна сумме площадей всех боковых граней. 

Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники. Следовательно, площади боковых граней равны.

У правильной четырехугольной пирамиды четыре боковых грани. Значит,

\(\displaystyle S_{бок}=S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}=4S_{грани}\small. \)

Вычислим \(\displaystyle S_{грани}\small. \)

Рассмотрим грань \(\displaystyle SBC{\small .}\)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой она проведена. То есть

\(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}BC\cdot SK{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle BC{\small :}\)

\(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot SK=2\cdot SK{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle S_{бок}=4 \cdot S_{грани}=4\cdot 2 \cdot SK = 8\cdot SK\small. \)