По условию задачи даны сторона основания \(\displaystyle BC=10\) и площадь поверхности \(\displaystyle S=340 {\small .}\) 

Требуется найти боковое ребро \(\displaystyle SC\) пирамиды.

Для этого нужно рассмотреть боковую грань \(\displaystyle SBC{\small .}\)

I. Найдем апофему \(\displaystyle SH{\small .}\)

Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

При этом:

• площадь \(\displaystyle S\) известна;
• площадь основания \(\displaystyle S_{осн}\) вычисляется через сторону основания, так как в основании лежит квадрат;
• площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) вычисляется через апофему и ребро основания.

Для нахождения \(\displaystyle SH\) нужно:

1. Вычислить \(\displaystyle S_{осн}{\small .}\)

2. Выразить \(\displaystyle S_{бок}\) через \(\displaystyle SH{\small ,}\)пользуясь тем, что \(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}\) и \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot SH{ \small .}\) 

3. Найти \(\displaystyle SH{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small .\) 

1. Найдем площадь основания пирамиды.

2. Выразим площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) через апофему \(\displaystyle SH{\small .}\)

Площадь боковой поверхности пирамиды \(\displaystyle S_{бок}\) есть сумма площадей боковых граней.

Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники. Следовательно, площади боковых граней равны.

У правильной четырехугольной пирамиды четыре боковых грани. Значит,

\(\displaystyle S_{бок}=S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}=4S_{грани}\small. \)

Рассмотрим боковую грань пирамиды и проведем в ней апофему \(\displaystyle SH{\small .}\)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой она проведена. То есть \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot SH{\small .}\) Подставим \(\displaystyle BC{\small:}\) \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot SH=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot SH = 5 \cdot SH{\small .}\) Подставим \(\displaystyle S_{грани}\) в формулу для вычисления \(\displaystyle S_{бок}{\small :}\) \(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}=4\cdot 5 \cdot SH = 20\cdot SH \small. \)

3. Найдем \(\displaystyle SH{\small .}\) 

II. Найдем боковое ребро \(\displaystyle SC{\small .}\) 

Рассмотрим боковую грань \(\displaystyle SBC{\small .}\)

Апофема \(\displaystyle SH\) является высотой равнобедренного треугольника \(\displaystyle SBC{\small ,}\) проведенной
к основанию \(\displaystyle BC{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle SH\) также является медианой треугольника \(\displaystyle SBC{\small .}\) 

Значит,

\(\displaystyle BH=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 10 = 5{\small .}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle SHC{\small .}\)

Найдем \(\displaystyle SC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle SHC{\small :}\) \(\displaystyle SH^2+HC^2=SC^2{\small ,}\) \(\displaystyle 12^2+5^2=SC^2{\small ,}\) \(\displaystyle SC^2=169{\small .}\) Так как длина отрезка положительна, то  \(\displaystyle SC=\sqrt{169}=13{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 13{\small .}\)