Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Описанный треугольник

Задание

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны \(\displaystyle 5 \small,\) основание равно \(\displaystyle 6 \small.\) Найдите радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABC\) – равнобедренный треугольник с боковым ребром \(\displaystyle AC=CB=5\) и основанием \(\displaystyle AB=6 \small.\) Проведем высоту \(\displaystyle CH\) треугольника.

По свойству равнобедренного треугольника, высота \(\displaystyle CH\) является и медианой,

\(\displaystyle AH=BH=\frac{1}{2} \cdot AB=3 \small.\)

Из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ACH\) по теореме Пифагора получаем:

\(\displaystyle AC^2=AH^2+CH^2 \small,\)

тогда

\(\displaystyle CH^2=AC^2-AH^2 \small,\)

\(\displaystyle CH^2=5^2-3^2=25-9=16 \small.\)

\(\displaystyle CH=4 \small.\)

Значит,

\(\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot CH= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\small.\)

Периметр треугольника равен

\(\displaystyle P=AB+BC+CA=6+5+5=16 \small,\)

отсюда полупериметр равен

\(\displaystyle p=\frac{1}{2} \cdot P=8 \small.\)

По формуле

Правило

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

\(\displaystyle S=pr \small,\)

\(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) – полупериметр,

\(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.

получаем:

\(\displaystyle r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=1{,}5 \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 1{,}5 {\small .}\)