Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 13 Трапеция (комбинированные задачи)

Задание

Основания трапеции равны \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 6\small,\) боковая сторона, равная \(\displaystyle 7\small,\) образует с одним из оснований трапеции угол \(\displaystyle 150^\circ\small.\) Найдите площадь трапеции. 

Решение

Пусть \(\displaystyle AD=18\) и \(\displaystyle BC=6\) – основания, \(\displaystyle AB=7\) – боковая сторона трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) Требуется найти площадь трапеции.

Найдем высоту трапеции. Возможны два варианта: \(\displaystyle \angle ABC = 150^{\circ}\) и \(\displaystyle \ \angle BAD= 150^{\circ}\small.\) 

 

По предложенному в условии задачи рисунку имеем \(\displaystyle \angle ABC = 150^{\circ}\small.\)

Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) то 

\(\displaystyle \angle BAD = 180^{\circ}-\angle ABC =\)

\(\displaystyle =180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\small.\)

Проведем высоту \(\displaystyle BH \) трапеции.

  

Найдем высоту \(\displaystyle BH \) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH\small.\)

Нам известны острый угол \(\displaystyle \angle BAH=30^{\circ}\) и гипотенуза \(\displaystyle AB=7\small.\)

По свойству прямоугольного треугольника с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) равен половине гипотенузы.

Тогда

\(\displaystyle BH=\frac{1}{2}\cdot {AB}=\frac{1}{2}\cdot 7=3{,}5\small.\)

 

Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{18+6}{2}\cdot 3{,}5=\frac{24}{2}\cdot 3{,}5={12}\cdot 3{,}5=42\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 42 \small.\)
 

Замечание / комментарий

Рассмотрим случай \(\displaystyle \angle BAD= 150^{\circ} \small.\) 

Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) то 

\(\displaystyle \angle ABC = 180^{\circ}-\angle BAD =\)

\(\displaystyle =180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \small.\)

Проведем высоту \(\displaystyle AH \) трапеции.

 

Получаем прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABH\) с  острым углом \(\displaystyle \angle ABH =30^{\circ}\) и гипотенузой \(\displaystyle AB=7 \small.\) 

По свойству прямоугольного треугольника с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ} \small,\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ} \small,\) равен половине гипотенузы. Значит,

\(\displaystyle AH=\frac{1}{2}\cdot {AB}=\frac{1}{2}\cdot 7=3{,}5 \small.\)

Площадь трапеции и в этом случае равна \(\displaystyle 42 \small.\)