Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию на отрезки \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 10{\small .}\) Найдите разность длин оснований трапеции.
Пусть \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания трапеции \(\displaystyle ABCD{\small ,}\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) соответственно. Обозначим через \(\displaystyle T\) точку пересечения диагонали \(\displaystyle AC\) со средней линией \(\displaystyle MN{\small .}\) Пусть \(\displaystyle MT=4{\small ,}\) \(\displaystyle TN=10{\small .}\) По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small .}\) |  |
В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD{\small .}\)
По следствию теоремы Фалеса точка \(\displaystyle T\) является серединой \(\displaystyle AC{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle TN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACD{\small ,}\) а \(\displaystyle TM\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACB{\small .}\)
По свойству средней линии треугольника
\(\displaystyle AD =2 \cdot TN={2} \cdot 10 = 20\)
и
\(\displaystyle BC=2 \cdot TM=2\cdot 4=8{\small .}\)
Следовательно, основания трапеции \(\displaystyle AD=20\) и \(\displaystyle BC=8{\small ,}\) разность их длин составляет
\(\displaystyle AD-BC=20-8=12{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)
В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:
Свойство средней линии трапеции
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:
точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small .}\)