Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Степень в степени (целые показатели)

Задание

Найдите показатель степени для любых ненулевых чисел \(\displaystyle t\) и \(\displaystyle v:\)
 

\(\displaystyle \left(t^{\,5}v^{\,-6}\right)^{-3} =t\)
\(\displaystyle \cdot \, v\)
Решение

Сначала воспользуемся правилом "произведение в степени".

Правило

Произведение в степени

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\)  и целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle (ab)^{\,n}=a^{\,n}b^{\,n}\).

Получаем:

\(\displaystyle \left(t^{\,\color{blue}{5}}v^{\,\color{green}{-6}}\right)^{\color{red}{-3}}=\left(t^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\color{red}{-3}}\left(v^{\,\color{green}{-6}}\right)^{\color{red}{-3}}.\)

 

Далее к каждому множителю применим правило возведения степени в степень.

Правило

Cтепень в степени

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любых целых чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}\).

В результате получаем:

\(\displaystyle \left(t^{\,\color{blue}{5}}\right)^{\color{red}{-3}}\left(v^{\,\color{green}{-6}}\right)^{\color{red}{-3}}=t^{\, \color{blue}{5}\cdot \color{red}{(-3)}}\cdot v^{\, \color{green}{(-6)}\cdot \color{red}{(-3)}}=t^{\,\bf -15}v^{\,\bf 18}.\)

Ответ: \(\displaystyle t^{\,-15}v^{\,18}.\)