Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{0{,}61}\)\(\displaystyle \sqrt{0{,}59}\)
Сравним числа \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \) и \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}59} {\small . } \) Запишем возможное для них неравенство в виде
\(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \color{green}{ \vee} \sqrt{ 0{,}59}{\small , } \)
где \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначает некоторый знак неравенства (который надо найти).
Воспользуемся правилом.
Возведение обеих частей неравенства в квадрат
Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) верно:
\(\displaystyle a >b \) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}>b^{\,2}{\small . } \)
или
\(\displaystyle a <b \) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small . } \)
В нашем случае \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \color{green}{ \vee} \sqrt{ 0{,}59} {\small . } \) Из определения квадратного корня следует, что \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \ge 0 \) и \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}59} \ge 0{\small . } \)
Поэтому по правилу можно возвести обе части неравенства \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \color{green}{ \vee} \sqrt{ 0{,}59}\) в квадрат:
\(\displaystyle \left(\sqrt{ 0{,}61}\right)^2 \color{green}{ \vee} \left(\sqrt{ 0{,}59}\right)^2{\small ; } \)
\(\displaystyle 0{,}61\color{green}{ \vee} 0{,}59{\small . } \)
Так как \(\displaystyle 0{,}61>0{,}59{\small , } \) то \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначал знак \(\displaystyle \color{green}{ >}{\small , } \) то есть
\(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61} \color{green}{ >}\sqrt{ 0{,}59}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{ 0{,}61}>\sqrt{ 0{,}59}{\small . } \)
Доказательство правила
Чтобы доказать правило, воспользуемся свойством умножения неравенств для неотрицательных чисел \(\displaystyle a,\, b,\,x,\, y{\small .}\)
Это свойство утверждает, что если \(\displaystyle a<b\) и \(\displaystyle x<y{\small ,}\) то \(\displaystyle a\cdot x<b \cdot y{\small .}\)
Тогда, применяя это правило к одному неравенству, получаем:
- если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
- если \(\displaystyle a=b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}=b^{\,2}{\small .}\)
- если \(\displaystyle a>b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,2}>b^{\,2}{\small .}\)
Что и доказывает наше правило.