Найти разность арифметической прогрессии \(\displaystyle d{ \small ,}\) если
\(\displaystyle a_5 = 5{ \small ,}\, a_{100} = -375{\small .}\)
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_5 \) и \(\displaystyle a_{100}{\small : } \)
\(\displaystyle a_5 = a_1 + 4d\) и \(\displaystyle a_{100} = a_1 + 99d{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_5=5\) и \(\displaystyle a_{100}=-375{ \small ,} \) то получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a_1 + 4d&= 5{ \small ,}\\a_1 + 99d&=-375{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим эту систему методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1 + 4d= 5{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_1 = 5-4d{ \small .} \)
Подставляя во второе уравнение системы, получаем:
\(\displaystyle (5-4d)+99d=-375{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5-4d+99d=-375{ \small ,} \)
\(\displaystyle -4d+99d=-375-5{ \small ,} \)
\(\displaystyle 95d=-380{ \small ,} \)
\(\displaystyle d=-4{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -4{\small .}\)