Найти сто первый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{101}{ \small ,}\) если
\(\displaystyle a_5= 5{ \small ,}\, a_{25} = 10{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_5 \) и \(\displaystyle a_{25}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{5} = a_1 + 4d\) и \(\displaystyle a_{25} = a_1 + 24d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_{5}=5 \) и \(\displaystyle a_{25}=10{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 4d&=5{ \small ,}\\a_1 + 24d&=10{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=5-4d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (5-4d)+24d=10{ \small ,}\)
\(\displaystyle 5-4d+24d=10{ \small ,}\)
\(\displaystyle 20d=10-5{ \small ,}\)
\(\displaystyle 20d = 5{ \small ,}\)
\(\displaystyle d =0{,}25{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=5-4d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=5-4\cdot 0{,}25{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=5-1{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=4{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle a_{101}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{101}=a_1+100d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_{101}=4+ 100\cdot 0{,}25{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{101}=4+ 25{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{101}=29{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 29{\small .}\)