На рисунке изображена гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}+c{\small.}\) Найдите \(\displaystyle k{\small,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)
Сначала найдем \(\displaystyle \color{green}{c}\) и \(\displaystyle \color{blue}{b}{\small.}\)
На рисунке изображены
- горизонтальная асимптота гиперболы – прямая \(\displaystyle y=\color{green}{-1}{\small;}\)
- вертикальная асимптота гиперболы – прямая \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle \color{green}{c}=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{b}=\color{blue}{3}{\small.}\)
Тогда уравнение гиперболы имеет вид:
\(\displaystyle y=\frac{k}{x+\color{blue}{3}}\color{green}{-1}{\small.}\)
Теперь найдем \(\displaystyle \color{red}{k}{\small.}\)
Заметим, что гипербола проходит через точку \(\displaystyle (-1;\, 0){\small.}\)
Значит, если в уравнение гиперболы подставим \(\displaystyle x=-1\) и \(\displaystyle y=0,\) то получим верное равенство:
\(\displaystyle 0=\frac{\color{red}{k}}{-1+3}-1{\small.}\)
Откуда находим \(\displaystyle \color{red}{k}{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{\color{red}{k}}{2}=1\,\,\Big|\cdot2{\small,}\)
\(\displaystyle \color{red}{k}=2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle k=2{\small,}\) \(\displaystyle b=3\) и \(\displaystyle c=-1{\small.}\)