Вынесите общий множитель за скобки так, чтобы выполнялось равенство:
\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}=\)\(\displaystyle (g+s\,)^2\)
Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2},\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.
Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}.\)
1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10,\, 20\) и \(\displaystyle 10.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем
\(\displaystyle НОД(10,\,20,\, 10)=10.\)
1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.
Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 10g^{\, 2}x,\, 20gsx, \, 10xs^{\, 2}\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.
| \(\displaystyle 10g^{\, 2}x\) | \(\displaystyle 20gsx\) | \(\displaystyle 10xs^{\, 2}\) | ||
| \(\displaystyle g\) | есть \(\displaystyle g^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle g=g^{\, 1}\) | нет \(\displaystyle g\) | не является общим параметром |
| \(\displaystyle s\) | нет \(\displaystyle s\) | есть \(\displaystyle s=s^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle s^{\, 2}\) | не является общим параметром |
| \(\displaystyle x\) | есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\) | общий параметр |
Следовательно, только \(\displaystyle x\) является общим параметром.
При этом:
Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно \(\displaystyle x^{\,1}=x.\)
Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}\) равен \(\displaystyle 10x.\)
2. В исходном выражении вынесем \(\displaystyle 10x\) за скобки:
\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}=10x\cdot\left( \frac{10g^{\, 2}x}{10x}+\frac{20gsx}{10x}+\frac{10xs^{\, 2}}{10x}\right)= 10x \left( g^{\, 2}+2gs+s^{\, 2}\right).\)
3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата суммы:
\(\displaystyle 10x \left( g^{\, 2}+2gs+s^{\, 2}\right)=10x\,(g+s\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}={\bf 10}\pmb{x}\,(\pmb{g}+\pmb{s}\,)^{\bf 2}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf 10}\pmb{x}\,(\pmb{g}+\pmb{s}\,)^{\bf 2}.\)