Поделить многочлен \(\displaystyle 2x^{\,15}-\frac{5}{7}x^{\,11}+\frac{2}{3}x^{\,6}+\frac{8}{9}x^{\,3}\) на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}\) означает поделить каждый его член на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}{\small .}\) Поэтому:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \left(2x^{\,15}-\frac{5}{7}x^{\,11}+\frac{2}{3}x^{\,6}+\frac{8}{9}x^{\,3}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)=\\ \kern{3em} =\left(2x^{\,15}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)-\left(\frac{5}{7}x^{\,11}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{2}{3}x^{\,6}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{8}{9}x^{\,3}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right) {\small .}\end{array}\)

Заменив знак деления \(\displaystyle ":"\) на черту дроби, получаем:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \left(2x^{\,15}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)-\left(\frac{5}{7}x^{\,11}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{2}{3}x^{\,6}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{8}{9}x^{\,3}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)=\\[10px] \kern{24em} =\frac{2x^{\,15}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}-\frac{\frac{5}{7}x^{\,11}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\frac{2}{3}x^{\,6}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\frac{8}{9}x^{\,3}}{\frac{3}{7}x^{\,2}} {\small .}\end{array}\)

Поделим друг на друга числовые коэффициенты в каждой дроби и к степеням применим формулу частного степеней:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{2x^{\,15}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}-\frac{\frac{5}{7}x^{\,11}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\frac{2}{3}x^{\,6}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\frac{8}{9}x^{\,3}}{\frac{3}{7}x^{\,2}}=\\[10px] \kern{5em} =\left(2:\frac{3}{7}\right)x^{\,15-2}-\left(\frac{5}{7}:\frac{3}{7}\right)x^{\,11-2}+\left(\frac{2}{3}:\frac{3}{7}\right)x^{\,6-2}+\left(\frac{8}{9}:\frac{3}{7}\right)x^{\,3-2}=\\[10px] \kern{23em} =\frac{14}{3}x^{\,13}-\frac{5}{3}x^{\,9}+\frac{14}{9}x^{\,4}+\frac{56}{27}x {\small .}\end{array}\)

Данный многочлен записан в стандартном виде.

Ответ: \(\displaystyle \frac{14}{3}x^{\,13}-\frac{5}{3}x^{\,9}+\frac{14}{9}x^{\,4}+\frac{56}{27}x{\small .}\)