Обозначим неизвестный множитель, вынесенный за скобки, через \(\displaystyle \color{red}{X}.\) Тогда:

\(\displaystyle 9z^{\,15}+12z^{\,13}-15z^{\,12}=\color{red}{X}\cdot (3z^{\,3}+4z-5).\)

Сначала раскроем скобки:

\(\displaystyle \color{red}{X}\cdot (3z^{\,3}+4z-5)=\color{red}{X}\cdot 3z^{\,3}+ \color{red}{X}\cdot 4z- \color{red}{X}\cdot 5.\)

Затем подставим результат в исходное равенство вместо правой части:

\(\displaystyle 9z^{\,15}+12z^{\,13}-15z^{\,12}=\color{red}{X}\cdot 3z^{\,3}+ \color{red}{X}\cdot 4z- \color{red}{X}\cdot 5.\)

В получившемся равенстве слева и справа от знака равно должно стоять одно и то же выражение. Поэтому выбираем одночлены старших степеней от переменной \(\displaystyle z,\) слева это \(\displaystyle \color{blue}{9z^{\,15}}\) а справа \(\displaystyle \color{red}{X}\cdot\color{blue}{3z^{\,3}}.\) Приравняем их:

\(\displaystyle 9z^{\,15}=\color{red}{X}\cdot 3z^{\,3}.\)

Тогда

\(\displaystyle \color{red}{X}=\frac{9z^{\,15}}{3z^{\,3}},\)

откуда

\(\displaystyle \color{red}{X}=3z^{\,12}.\)

Действительно, если подставить в первоначальное равенство вместо \(\displaystyle \color{red}{X}\) выражение \(\displaystyle 3z^{\,12},\) то

\(\displaystyle \color{red}{3z^{\,12}}\,(3z^{\,3}+4z-5)=\color{red}{3z^{\,12}}\cdot 3z^{\,3}+ \color{red}{3z^{\,12}}\cdot 4z- \color{red}{3z^{\,12}}\cdot 5=9z^{\,15}+12z^{\,13}-15z^{\,12},\)

что и требовалось получить.

Ответ: \(\displaystyle 3z^{\,12}.\)