Выражение \(\displaystyle 6x^{\,22}-3x^{\,19}-9x^{\,16}\) состоит из трех одночленов \(\displaystyle \color{blue}{6}\color{green}{x^{\,22}}, \, -\color{blue}{3}\color{green}{x^{\,19}}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{9}\color{green}{x^{\,16}}.\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.

Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle 6x^{\,22}, \, -3x^{\,19}\) и \(\displaystyle -9x^{\,16}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{6},\, \color{blue}{3}\) и \(\displaystyle \color{blue}{9}.\)
   Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
   Сперва найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{6},\color{blue}{3})=3.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(3,\color{blue}{9})=3.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 3}.\)
2. Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
   В первом одночлене \(\displaystyle 6x^{\bf \,\color{blue}{22}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 22.\)
   Во втором одночлене \(\displaystyle -3x^{\bf \,\color{blue}{19}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 19.\)
   В третьем одночлене \(\displaystyle -9x^{\bf \,\color{blue}{16}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 16.\)
   Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,16}.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle 6x^{\,22}-3x^{\,19}-9x^{\,16}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 3x^{\,16}\):

\(\displaystyle 6x^{\,22}-3x^{\,19}-9x^{\,16}=3x^{\,16}\left(\frac{6x^{\,22}}{3x^{\,16}}-\frac{3x^{\,19}}{3x^{\,16}}-\frac{9x^{\,16}}{3x^{\,16}}\right)\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 6x^{\,22}-3x^{\,19}-9x^{\,16}=3x^{\,16}\,(2x^{\,6}-x^{\,3}-3).\)

Ответ: \(\displaystyle 3x^{\,16}\,(2x^{\,6}-x^{\,3}-3).\)