Теңдеуді шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+4x=0\)
\(\displaystyle x+5\) – бөлшектің бөлгіші болғандықтан, \(\displaystyle x+5\) – нөлдік емес өрнек болып табылады және бірлікті \(\displaystyle x+5{\small }\) бөлгіші бар бөлшек ретінде көрсетуге болады :
\(\displaystyle 1=\frac{x+5}{x+5}{\small .}\)
Онда
\(\displaystyle 4x=4x\cdot 1=4x\cdot \frac{x+5}{x+5}=\frac{4x\,(x+5)}{x+5}{\small .}\)
Сонымен
\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+\color{green}{4x}=\frac{25}{x+5}+\color{green}{\frac{ 4x\cdot (x+5)}{x+5 }}=\frac{25+4x\,(x+5)}{x+5}=\frac{25+4x^{\,2}+20x}{x+5}=\frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}{\small . }\)
Бөлшек теңдеуді аламыз :
\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0{\small . }\)
Осы теңдеуді шешеміз. Бөлшек теңдеулерді шешу ережесін қолданайық.
Егер \(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) онда \(\displaystyle f(x\,)=0\) және \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)Бөлшек теңдеу
Сондықтан теңдеуден
\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0\)
келесідей
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 \) және \(\displaystyle x+5=\not 0{\small .} \)
\(\displaystyle x+5=0\) кезінде \(\displaystyle x=-5{\small ,}\) болса, онда \(\displaystyle x+5=\not 0{\small , }\) егер \(\displaystyle x=\not -5{ \small .}\)
Теңдеуді \(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 { \small } \) шешеміз
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0{ \small . } \)
Қосынды квадратының формуласын қолдана отырып, теңдеудің сол жағындағы өрнекті бүктеңіз:
\(\displaystyle a^{\,2}+2ab+b^{\,2}= (a+b\,)^2{\small . } \)
Онда
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25= (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x+5)^2{\small . } \)
Теңдеуді аламыз
\(\displaystyle (2x+5)^2=0{\small , } \)
осыдан
\(\displaystyle 2x+5=0{\small . } \)
Осы сызықтық теңдеуді шеше отырып, біз аламыз:
\(\displaystyle 2x=-5{\small , } \)
\(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2}{\small . } \)
Осылайша аламыз,
\(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2} \) және \(\displaystyle x=\not -5{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2}\) – ізделінетін шешім.
Жауап: \(\displaystyle \bf -\frac{ 5}{ 2}{\small . } \)