Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+4x=0\)
Так как \(\displaystyle x+5\) – знаменатель дроби, то \(\displaystyle x+5\) – ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle x+5{\small :}\)
\(\displaystyle 1=\frac{x+5}{x+5}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 4x=4x\cdot 1=4x\cdot \frac{x+5}{x+5}=\frac{4x\,(x+5)}{x+5}{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{25}{x+5}+\color{green}{4x}=\frac{25}{x+5}+\color{green}{\frac{ 4x\cdot (x+5)}{x+5 }}=\frac{25+4x\,(x+5)}{x+5}=\frac{25+4x^{\,2}+20x}{x+5}=\frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}{\small . }\)
Получили дробное уравнение:
\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0{\small . }\)
Решим данное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.
Дробное уравнение
\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(x\,)=0\) и \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)
Поэтому из уравнения
\(\displaystyle \frac{4x^{\,2}+20x+25}{x+5}=0\)
следует, что
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 \) и \(\displaystyle x+5=\not 0{\small .} \)
Так как \(\displaystyle x+5=0\) при \(\displaystyle x=-5{\small ,}\) то \(\displaystyle x+5=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle x=\not -5{ \small .}\)
Решим уравнение \(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0 { \small .} \)
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25=0{ \small . } \)
Свернем выражение в левой части уравнения, воспользовавшись формулой квадрата суммы:
\(\displaystyle a^{\,2}+2ab+b^{\,2}= (a+b\,)^2{\small . } \)
Тогда
\(\displaystyle 4x^{\,2}+20x+25= (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x+5)^2{\small . } \)
Получили уравнение
\(\displaystyle (2x+5)^2=0{\small , } \)
откуда
\(\displaystyle 2x+5=0{\small . } \)
Решая это линейное уравнение, получаем:
\(\displaystyle 2x=-5{\small , } \)
\(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2}{\small . } \)
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2} \) и \(\displaystyle x=\not -5{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle x=-\frac{ 5}{ 2}\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle \bf -\frac{ 5}{ 2}{\small . } \)