Қосындының квадратын табыңыз:
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Өрнегімізді қосынды квадратының формуласы нақты көрінетіндей етіп қайта жазамыз:
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=z^{\, 2}+2\cdot z \cdot 1+1^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=z\) және \(\displaystyle b=1\) кезіндегі қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады.
Сондықтан
\(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2=(z+1)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (z+1)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle z^{\, 2}+2z+1^2\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Сәйкесінше,
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін дұрыс болып табылады.
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{z^{\,2}}+2z+\color{green}{1^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{z^{\, 2}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{1^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle z\) немесе \(\displaystyle -z,\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle 1\) немесе \(\displaystyle -1\) болуы мүмкін (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:
\(\displaystyle a=z,\)
\(\displaystyle b=1.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle z\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 1\) санын ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=z^{\,2}+\color{red}{2z}+1^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2z\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot z\cdot 1,\)
\(\displaystyle 2ab=2z.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=z\) және \(\displaystyle b=1\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=(a+b\,)^2\) болғандықтан
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=z\) және \(\displaystyle b=1\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle z^{\,2}+2z+1^2=(z+1)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (z+1)^2.\)