Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^{\, 2}\) является полным квадратом суммы.

Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 30st\) так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s\,)^2+2\cdot 5s\cdot 3t+(3t\,)^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t\):

\(\displaystyle (5s\,)^2+2\cdot 5s\cdot 3t+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (5s+3t\,)^2.\)

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2\) является полным квадратом суммы.

Следовательно,

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(5s\,)^2+30st+(3t\,)^2\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(5s\,)^2}+30st+\color{green}{(3t\,)^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(5s\,)^2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(3t\,)^2}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 5s\) или \(\displaystyle -5s,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 3t\) или \(\displaystyle -3t\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=5s,\)

\(\displaystyle b=3t.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(5s\,)^2+\color{red}{30st}+(3t\,)^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}30st\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 5s,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 3t.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5s\cdot 3t,\)

\(\displaystyle 2ab=30st.\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t.\)

Поскольку

\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(a+b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (5s+3t\,)^2.\)