Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Заметим, что \(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2\) и \(\displaystyle 25=5^2.\) Поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=2x\) и \(\displaystyle b=5\):
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x+5)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x+5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (2x+5)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
и
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(a+b\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 4x^{\,2}=2^2x^{\,2}=(2x\,)^2\) и \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25.\)
Если \(\displaystyle a^{\,2}=(2x\,)^2,\) то \(\displaystyle a=2x\) или \(\displaystyle a=-2x\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем вариант со знаком плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)), то есть \(\displaystyle a=2x.\)
Перепишем наше равенство
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25=\color{blue}{a}^{\, 2}+2\color{blue}{a}b+b^{\, 2},\)
подставляя вместо \(\displaystyle \color{blue}{a}\) выражение \(\displaystyle \color{blue}{2x}\):
\(\displaystyle (2x\,)^2+2\cdot 2x\cdot 5+25=\color{blue}{(2x\,)}^2+2\cdot\color{blue}{2x}\cdot b+b^{\, 2}.\)
В выражении слева с параметром \(\displaystyle x\) стоит слагаемое \(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot 5,\) а справа – \(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot b.\) Приравняем их:
\(\displaystyle 2\cdot 2x\cdot 5=2\cdot 2x\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{2\cdot 2x\cdot 5}{2\cdot 2x},\)
\(\displaystyle b=5.\)
Таким образом, \(\displaystyle a=2x\) и \(\displaystyle b=5.\) Подставляя в равенство \(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(a+b\,)^2,\) получаем, что
\(\displaystyle 4x^{\,2}+2\cdot 2x\cdot 5+25=(2x+5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (2x+5)^2.\)