Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) является полным квадратом суммы.

Заметим, что  \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2,\) и поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x\):

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2=(3t+7x\,)^2.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) является полным квадратом суммы.

Следовательно,

\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Заметим, что  \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) и поэтому

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}+2(3t\,)(7x\,)+\color{green}{(7x\,)^2},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}\) и  \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7x\,)^2}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 3t\) или \(\displaystyle -3t,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 7x\) или \(\displaystyle -7x\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=3t,\)

\(\displaystyle b=7x.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(3t\,)^2+\color{red}{2(3t\,)(7x\,)}+(7x\,)^2,\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(3t\,)(7x\,)\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 3t,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 7x.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3t\cdot 7x,\)

\(\displaystyle 2ab=2(3t\,)(7x\,).\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x.\)

Поскольку

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)